Catalogue des connaissances fondamentales en mathématiques, version 1997

L'objet de ce catalogue est de présenter les aptitudes et connaissances mathématiques dont doit disposer tout étudiant qui s'inscrit dans une université ou une école polytechnique helvétique. Ce document propose, pour les mathématiques, une concrétisation du plan d'études cadre (PEC) pour les écoles de maturité qu'a publié la conférence suisse des directeurs cantonaux de l'instruction publique (CDIP). Il est spécialement utile aux étudiants qui veulent suivre des cours universitaires qui font appel au langage et à l'outil mathématique, mais il doit aussi permettre aux enseignants du Gymnase et de l'Université d'assurer une bonne coordination entre leurs enseignements.

Pratiquement, le catalogue comporte deux parties, la première explicite les objectifs de la formation gymnasiale et la seconde dresse une liste des matières que tout bachelier doit bien connaître. Si les sujets retenus font en principe partie du programme de toute formation en mathématiques, il faut toutefois signaler que les choix offerts aux élèves dans le cadre de la Maturité leur permettent d'acquérir des connaissances mathématiques plus étendues.

Objectifs de la formation

L'enseignement des mathématiques doit permettre aux élèves de vérifier par eux-mêmes la pertinence des affirmations suivantes.

Les mathématiques forment un vaste réseau d'idées, de notions et de connaissances en constante évolution. En faisant preuve d'imagination, on peut découvrir des relations entre ces éléments et créer ainsi de nouveaux concepts utiles au développement d'un outil d'analyse toujours plus performant.
Dans le monde mathématique, la rigueur est incontournable pour assurer la validité d'une affirmation, d'une théorie ou même d'une démarche. Même si l'esthétique de certaines théories est indéniable, les mathématiques sont d'abord une véritable école de logique.
La création de modèles et la résolution de problèmes permettent d'appréhender la réalité qui nous entoure. Les mathématiques, outils au service des sciences, trouvent une multitude d'applications dans des domaines variés.
L'accès au monde des mathématiques est un long processus qui passe par des échanges d'idées, des remises en cause, des exercices variés, un effort individuel de réflexion et une connaissance de certains aspects de l'histoire des mathématiques.

Pour atteindre ces objectifs, l'enseignement devra intégrer de nombreuses activités qui ne font pas forcément l'objet d'une connaissance spécifique, mais qui renforcent la formation. Ainsi chaque élève aura de l'expérience dans les trois domaines ci-dessous. Dans cette expérimentation, le recours à des moyens informatiques est recommandé.

Logique	Différentiation des conditions nécessaires et suffisantes, formulation de la négation d'un énoncé, méthodes de preuve (par l'absurde, par récurrence)
Modélisation	Optimisation linéaire, fonctions d'évolution, modèles de croissance ou de décroissance, utilisation de l'analyse en physique
Algorithmique	Algorithme d'Euclide, schéma de Horner, procédés itératifs pour la recherche de zéros, intégration numérique, simulation en stochastique

Connaissances

Les sujets mentionnés ci-dessous doivent être bien maîtrisés par le bachelier. Cela signifie que les notions et techniques concernées sont comprises, expérimentées et opérationnelles.

1. Algèbre

1.1	Calcul littéral, variables et constantes, équations et inéquations.
1.2	Résolution de systèmes linéaires avec 3 inconnues au maximum.
1.3	Équations non linéaires, spécialement l'équation de degré 2.
1.4	Puissances rationnelles, logarithmes, règles de calcul.

2. Stochastique

2.1	Dénombrement : permutations et factorielles, combinaisons et coefficients binomiaux.
2.2	Probabilités : épreuves aléatoires, principes de calcul, distribution binomiale.
2.3	Statistique : caractéristiques, représentations graphiques, exemples de tests.

3. Analyse

3.1	La fonction et ses diverses descriptions (relation, correspondance, transformation).
3.2	Les fonctions de base et leur graphe (polynomiales, rationnelles simples, trigonométriques, exponentielles et logarithmes).
3.3	Caractéristiques de fonctions et de leur graphe : croissance, parité, continuité, périodicité, asymptotes.
3.4	Notion de fonction réciproque sur des exemples.
3.5	La dérivation basée sur la notion intuitive de limite et les interprétations de la dérivée (notamment : pente de la tangente, vitesse, taux d'évolution).
3.6	Dérivées de fonctions de base : x^r, sin(x), cos(x), exp(x), ln(x).
3.7	Règles de dérivation : somme, produit, quotient, composée.
3.8	Intégrale définie et ses différentes utilisations (notamment : aire de surfaces, valeur moyenne).
3.9	Théorème fondamental du calcul intégral.

4. Géométrie

4.1	Géométrie élémentaire : calcul d'aire (triangle, quadrilatère, disque), théorèmes fondamentaux (Thalès, Pythagore), reconnaissance de similitudes.
4.2	Trigonométrie : cercle trigonométrique, triangle rectangle, théorèmes du sinus et du cosinus.
4.3	Géométrie spatiale : représentations de situations (schémas en perspective), calcul d'aires et de volumes (prisme, pyramide, cylindre, cône et sphère).
4.4	Géométrie analytique et vectorielle : opérations sur les vecteurs, produit scalaire, produit vectoriel, équations de droites et de plans, positions relatives.